成年後見制度を利用している時、病気になったら面倒は見てもらえるのですか。

後見人には、身の回りの介護や看病をする役割ではありません。
しかし、

• 病院への入院手続き
• 医療費の支払い
• 介護サービスの契約
  などの「手続き」や「お金の管理」はしてくれます。

つまり、「生活の支援」や「契約のサポート」はしてくれますが、実際の介護や通院の付き添いなどは、別の支援（家族や介護サービスなど）になります。